La sucesión de Fibonacci y sus propiedades

Imagen de cabecera: Girasol donde se pueden ver las espirales que forman las semillas. Extraído de: https://www.pexels.com

Te propongo un juego: piensa en un número entero positivo, el que quieras. Ahora piensa en otro entero positivo que sea mayor que el anterior. Por ejemplo, yo he pensado primero en el número m=15 y después en el n=32. Suma estos dos números y vamos a llamar S1 al resultado de esa suma. Para el ejemplo sería S1=15+32=47.

Ahora, suma S1 con n, que es el segundo número que pensaste. Así, obtendremos otra suma que llamaremos S2, que para el ejemplo será S2= n+S1=32+47=79. Repite este proceso al menos seis veces sumando las dos sumas anteriores. Es decir, para S3 sumaríamos S1 y S2 y así sucesivamente. En la tabla 1 puedes ver los resultados para el ejemplo:

mnS1=m+nS2=n+S1S3=S1+S2S4=S2+S3S5=S3+S4S6=S4+S5
15324779126205331536

Tabla 1. Sumas sucesivas para el ejemplo propuesto

Ahora tienes que hacer una cosa más: divide la última suma que hayas obtenido entre la penúltima. Para el ejemplo habría que dividir S6 entre S5, es decir, dividir 536 entre 331. Déjame que adivine… Has obtenido un número con muchos decimales, pero aproximándolo, ¿a que es 1,6? De hecho, si repites el procedimiento anterior muchas más veces y después haces la división de las dos últimas sumas, obtendrás 1,61803… Te lo muestro con el ejemplo anterior en la tabla 2, donde he llegado hasta la suma S12. Si dividimos las últimas dos sumas tenemos:

m n S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12
15 32 47 79 126 205 331 536 867 1403 2270 3673 5943 9616

Tabla 2. Sumas para el ejemplo propuesto

¡Qué curioso! ¿Es magia o simplemente casualidad? Ninguna de las anteriores, solo son matemáticas. El resultado que se obtiene al dividir es una aproximación de un número muy importante, más conocido como número áureo o número de oro. Suele ser representado por la letra griega phi (Φ) y su expresión es: Pero, ¿y por qué si pensamos en dos números al azar, los sumamos varias veces y dividimos los dos últimos nos va a dar siempre una aproximación del número de oro? Bien, a esta forma de construir los números (sumando los dos anteriores) se la conoce con el nombre de sucesión generalizada de Fibonacci. Pero antes de hablar de esta sucesión generalizada vamos a comenzar con la sucesión de Fibonacci. Leonardo de Pisa (1170-1240), más conocido como Fibonacci, se fijó en la descendencia de una pareja de conejos y encontró algo curioso. Consideremos una pareja de conejos cachorros. En el primer mes no son fértiles, por lo que no generarán descendencia. Sin embargo, un mes más tarde ya son fértiles, por lo que en el tercer mes habrán criado la primera pareja de conejos. Así, tenemos 2 parejas en ese mes (la pareja original marcada en negro en la figura 1 y la primera descendencia, marcada en azul). En el cuarto mes, la pareja original volverá a tener descendencia (pareja naranja) y en cambio la pareja azul todavía no es fértil. Por tanto, habrá 3 parejas de conejos. Si continuamos con la descendencia de los conejos según la figura 1, vemos que en el quinto mes habrá 5 parejas de conejos y en el sexto mes 8 parejas.
Figura 1. Modelo de reproducción de conejos. Fuente: Elaboración propia

Observemos una curiosidad: en el tercer mes se obtienen 2 parejas, que precisamente es igual a la suma de las parejas que había los dos meses anteriores (es decir 2=1+1). Así, en el cuarto mes hay 3 parejas, que es igual a la suma de las parejas de los dos meses anteriores (3=2+1) y así sucesivamente.

Es decir, el número de parejas de cada mes se obtiene sumando las parejas existentes en los dos meses anteriores. Esta sucesión de números es conocida como sucesión de Fibonacci y sería la siguiente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

Es una sucesión de números naturales, de forma que si a1=1 es el primer elemento y a2=1 el segundo, tendremos que a3=a1+a2=2 y para cualquier elemento en la posición n (siendo n un natural mayor o igual que 3), obtendremos:

Por ello, si queremos calcular el elemento que se encuentra en la sexta posición (n=6), será:

La sucesión de Fibonacci cumple muchas propiedades. Una de ellas es que si calculamos el cociente an/an_1, es decir, un número de la sucesión entre el número anterior de dicha sucesión, conforme ese subíndice n crece, los cocientes se van aproximando cada vez más al número de oro:

Por ejemplo, consideremos dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci puesta anteriormente, el 377 y 233, y hagamos su cociente:

Vemos que ya es una buena aproximación al número de oro, y si cogemos términos más grandes de la sucesión veremos que esa aproximación cada vez es mejor.

Pues bien, volvamos al juego que planteamos al principio. Dijimos que se trataba de la sucesión generalizada de Fibonacci. Y esto, ¿qué quiere decir? Hemos visto que la sucesión de Fibonacci se construye sumando los dos términos anteriores, siendo los dos primeros términos de la sucesión a1=1 y a2=1. Pues la sucesión generalizada de Fibonacci es una sucesión muy similar, donde cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Sin embargo, no es necesario que a1=1 y a2=1, sino que los dos primeros términos pueden ser dos números naturales cualesquiera, ha de ser a1 un número menor que a2.

Así, esta sucesión generalizada de Fibonacci también cumple la misma propiedad de que el cociente entre dos términos consecutivos se va aproximando cada vez más al número de oro. Por eso, en el juego propuesto, puede parecer un truco de magia y por tanto que somos capaces de adivinar los números que ha pensado la otra persona. Sin embargo, únicamente se trata de una propiedad que cumple la sucesión de números que está generando la otra persona según nuestras instrucciones: realmente no está más que creando una sucesión generalizada de Fibonacci.

Sin embargo, la sucesión de Fibonacci tiene otras muchas peculiaridades. Te reto a que descubras otra por ti mismo. Quizá te suene el triángulo de Pascal, que está relacionado con el desarrollo de la potencia de un binomio. Este se obtiene disponiendo un 1 en la primera fila y las siguientes filas se construyen poniendo en cada hueco la suma de los dos números consecutivos que tiene arriba, con la particularidad de poner siempre un 1 en los extremos de cada fila (Figura 2).

Figura 2. Construcción del triángulo de Pascal. Fuente: Elaboración propia

Pues bien, suma los números atravesados con las líneas azules de la figura 3. Apúntalos todos en orden y mira a ver si observas alguna curiosidad, ¿qué es lo que obtienes?

Figura 3. Diagonales sobre los números del triángulo de Pascal. Fuente: Elaboración propia

Finalmente, la sucesión de Fibonacci está presente en numerosos ejemplos en la naturaleza. Uno de ellos sería la forma de muchos seres vivos, como por ejemplo las conchas de algunas caracolas marinas. Su forma es la de una espiral de Fibonacci donde aparecen los términos de esta sucesión. En la figura 4 se puede ver esta espiral, donde los números que aparecen son el lado de dicho cuadrado, que, como se observa, son los términos consecutivos de la sucesión.

Figura 4. Espiral de Fibonacci. Fuente: Elaboración propia

En botánica, los números de la sucesión de Fibonacci también aparecen en el número de pétalos de las flores. Así, por ejemplo, gran parte de geranios, azaleas u orquídeas tienen 5 pétalos. En cambio, las margaritas suelen tener 21, 34 o 55. Otro ejemplo sería el de la disposición de las hojas de las plantas alrededor del tallo. En las plantas de una sola hoja por nudo, si partimos de una hoja del tallo y contamos el número de hojas y de vueltas que damos hasta encontrar otra hoja con la misma disposición vemos que son números de la sucesión de Fibonacci.

Como último ejemplo sorprendente en las plantas tendríamos los girasoles. Si nos fijamos en las semillas vemos que forman una red de espirales, unas van en el sentido de las agujas del reloj y otras al contrario. Si contamos el número de espirales que hay en un sentido y en el otro veremos que son términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

Te animo a que observes tu alrededor en busca de números de la sucesión o la espiral de Fibonacci. Puedes salir al campo, echar un vistazo a algunos alimentos que tienes en tu nevera o simplemente observar las dimensiones de tu propio cuerpo. ¿Encuentras alguno?

Y es que parece que llevaba razón Galileo cuando en su libro “Saggiatore” de 1623 escribió que “La naturaleza está escrita en lenguaje matemático”.

Nota: Un estudio histórico-matemático realizado en 2014 sobre el contexto de Leonardo de Pisa sugiere que quizá los números de la sucesión de Fibonacci derivan de la cultura intelectual y comercial de Bejaia, ciudad que se dedicaba a la apicultura. Leonardo de Pisa estuvo varios años estudiando allí y los investigadores sugieren que más que el modelo de reproducción de los conejos fue la reproducción de las abejas lo que le llevó a darse cuenta de esta sucesión de números [1].

Bibliografía

[1] Scott, T., & Marketos, P. (23 de marzo de 2014). On the origin of the Fibonacci Sequence. MacTutor History of Mathematics. Obtenido de https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf

Para saber más

Balibrea Gallego, F. (2005). Ubicuidad de la sucesión de Fibonacci. En Un breve viaje por la ciencia (págs. 49-54). Obtenido de https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1388851

García Agra, P., & Rodríguez Taboada, J. (2018). Las matemáticas del arte. Más allá del número de oro. Madrid: Catarata.

Esta entrada tiene un comentario

  1. Representado todo lo existente por números que los humanos han discurrido es una cuestión que no puede dejar indiferente.
    Excelente artículo, enhorabuena.
    Felicidades por la revista LOS OJOS DEL JÚCAR.

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