La geometría de los rosetones góticos

Imagen de cabecera: Catedral de Cuenca. Autor: Antía Argibay

La catedral de Cuenca es considerada como la primera catedral gótica realizada en Castilla, aunque su construcción comenzara en los últimos años del románico. En las catedrales góticas se puede ver de forma clara cómo la geometría aparece no solo en las formas de las construcciones, sino también en las composiciones artísticas de ventanas y vidrieras. Los maestros constructores de la época partían de sencillos dibujos para ejecutar las catedrales medievales y los métodos de cálculo que empleaban estaban basados en relaciones matemáticas sencillas, donde todo se podía construir geométricamente con regla y compás.

En las construcciones góticas la luz toma un papel importante que se logra de dos formas: por un lado, con rosetones; y por otro, con lancetas acabadas, en el caso de la catedral de Cuenca, en ojiva. Hay numerosos rosetones en nuestra catedral y con distintos números de pétalos: de 4, 6, 8, 12… Sin embargo, los más numerosos en la catedral conquense son los rosetones de 8 y 12 pétalos.

Como únicamente disponían de regla y compás, tenían que aplicar la geometría para realizar estas obras de arte. En este artículo, se va a analizar la geometría del rosetón, de cuatro pétalos (o tetralóbulo), el más sencillo geométricamente, pero que es perfectamente extrapolable a cualquier otro número de pétalos. En la catedral de Cuenca podemos encontrar estos rosetones de cuatro pétalos, por ejemplo, en la parte superior de la fachada principal.

Este rosetón tetralobulado está formado por una circunferencia exterior en la que dentro se encuentran cuatro circunferencias tangentes e iguales entre sí, que son las que forman los lóbulos. Los centros de estas circunferencias son los puntos A, B, C y D. De ahora en adelante, llamaremos R al radio de la circunferencia exterior y r al radio de la circunferencia que conforma cada pétalo o lóbulo (Figura 1).

Figura 1

Fijémonos en que si unimos los puntos A, B, C y D se forma un cuadrado cuyo lado mide 2r. El centro de este cuadrado es donde se cortan sus diagonales, que es el punto O.

El objetivo es encontrar la relación que hay entre ambos radios (R y r) para poder construir el rosetón. Para ello, expresemos R en función de r. De la figura 1 se observa que el radio R es la longitud entre el punto O y E, que escribimos como , y, a su vez, esta distancia se puede descomponer como la suma de:

ECUACIÓN 1

La longitud , que es el radio de la circunferencia de un pétalo. Falta por determinar la distancia , que para simplificar la llamaremos . Para la longitud del segmento x basta con fijarse en que los puntos A, B y O determinan un triángulo rectángulo en O, (Figura 2) por lo que se puede aplicar el famoso teorema de Pitágoras. Antes de ello, vamos a recordarlo: “En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado”.

Figura 2

Se tiene entonces que:

Que si despejamos el valor de x en función del radio r se obtiene:

Por tanto, sustituyendo cada término de la ECUACIÓN 1 por su valor:

Y expresando el radio r de un lóbulo en función del radio R de la circunferencia exterior (racionalizando previamente la expresión):

Esta relación es la que podrían utilizar los maestros artesanos de la época para construir un rosetón tetralobulado. Sin embargo, no disponían de calculadoras como tenemos hoy en día y, precisamente, es un número irracional. Es decir, es un número que no puede expresarse como un cociente de números enteros y tiene la particularidad de que tiene una expresión decimal que no es ni exacta ni periódica. Hoy en día sería muy fácil ya que con una calculadora podríamos obtener rápidamente que:

Pero ¿cómo podían únicamente con regla y compás construir estos rosetones sabiendo que hay un número irracional de por medio? Muy sencillo: aplicando la poderosa herramienta que es la geometría. En primer lugar, se obtiene un segmento de longitud  mediante la aplicación del teorema de Pitágoras. Para ello, se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos midan una unidad, así la hipotenusa tendría longitud  (Figura 3):

Figura 3
Posteriormente, solo hay que dibujar un segmento de una unidad y restárselo al segmento de longitud . Así, se obtiene ya el segmento de longitud . Finalmente, para obtener el valor de r en función de R, basta con aplicar el teorema de Tales. Este teorema afirma que “si dos rectas secantes son cortadas por dos o más rectas paralelas, entonces los segmentos que determinan sobre una de las rectas secantes son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta secante”. Así, se trazan dos semirrectas con origen común en O, la s (horizontal) y otra t que forma un ángulo cualquiera respecto a la horizontal. Sobre la semirrecta s se traza un segmento de longitud 1 metro (o la unidad que se quiera) y sobre la t la longitud del segmento  metros que se había obtenido previamente. Aparecen así los puntos M y N sobre las semirrectas s y t respectivamente (Figura 4).
Figura 4

Ahora, tomemos como ejemplo que se quisiera construir un rosetón cuya circunferencia exterior midiese 2 metros. Así, sobre la semirrecta s se trazaría un segmento desde el punto O de longitud 2 metros, que corta a s en el punto Q. Trazando por Q una recta paralela a la recta que pasa por M y N, se observa que corta a la semirrecta t en el punto P. De esta forma, la longitud del radio r sería (Figura 4).

Se deja al lector que realice los cálculos para cualquier otro número de pétalos. En especial se recomienda que se haga para el caso del rosetón de 6 pétalos, ya que es uno de los rosetones donde más se simplifica el cálculo. Hay que tener en cuenta que el razonamiento a seguir es el mismo, formándose en el interior un hexágono en lugar de un cuadrado. Así, se obtendría que la relación entre los radios de las circunferencias ha de ser:

Por supuesto existen otros métodos de construcción de estos rosetones, algunos meramente gráficos como el “método de las tangencias” y otros analíticos similares al expuesto.

Con este sencillo ejemplo hemos visto la importancia de la geometría que ya desde la Antigua Grecia viene empleándose. Aunque en la época medieval dispusieran de menos medios y herramientas, utilizaban el ingenio para resolver problemas y llevar a cabo construcciones que hoy en día nos continúan asombrando.

Para saber más

Crespo, C. (2005). La geometría en el arte: los vitrales de las catedrales góticas. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (ALME), 313-319. Obtenido de http://funes.uniandes.edu.co/5955/

Sada Allo, M. (Agosto de 2020). Obtenido de:  http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/problemas.htm

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