¿Cuál es la probabilidad de que me toque la lotería?

Imagen de cabecera: Décimo de la lotería de Navidad. Fuente: periódico ABC

En estos tiempos navideños muchos esperan ansiosos el día del sorteo de Navidad para ver si la fortuna ha caído de su parte. De no ser así, que no cunda el pánico, aún queda el sorteo del Niño. Pero ¿cómo de probable es que me toque el premio gordo? Bien, la respuesta es que esa probabilidad es muy pequeña. De hecho, para que veas la magnitud de que te toque el gordo quiero que pienses en un paquete de 1 kilo de arroz; más o menos visualizas la cantidad de granos de arroz que puede haber en ese kilo, ¿verdad? Pues imagina que tienes 3 kilos de arroz y que los echas sobre un recipiente grande. Después, coges un apetitoso grano y lo pintas de rojo, devolviéndolo después con el resto de sus hermanos. Ahora, mezclas bien todos esos granos, te vendas los ojos y metes la mano en el recipiente para coger uno. Con la cantidad de granos de arroz que hay en ese recipiente, la probabilidad de coger justo el que habías pintado de rojo es muy pequeña, ¿no? Pues esa misma probabilidad es la de que te toque el gordo del sorteo de Navidad.

Y como no siempre hay que creerse lo que se dice, en este artículo vamos a analizar la probabilidad de que te pueda tocar el gordo del sorteo de Navidad. Lo veremos también para el sorteo de El Niño y luego compararemos con otros juegos de azar. ¡Comencemos!

En primer lugar, tenemos que ver cómo podemos calcular la probabilidad. Para ello vamos a usar la conocida “Regla de Laplace”. Esta dice que en el caso de que todos los resultados de un experimento aleatorio sean equiprobables (igual de probables), se define la probabilidad de que un determinado suceso A ocurra como el cociente entre el número de casos favorables de que ese suceso ocurra entre el número de resultados posibles del experimento. Esto es:

Vamos a ver un ejemplo: tenemos un dado de 6 caras. Si queremos calcular la probabilidad de sacar un 3 tenemos que contar cuántas caras tienen un 3, que serían los casos favorables: es decir, 1. El número de casos posibles son todos los números que podemos obtener en el dado, que son 6. Por tanto, la probabilidad de sacar un 3 sería:

En el caso de la lotería podemos aplicar la regla de Laplace, ya que es igual de probable que salgan todos los números del bombo al ser todas las bolas del mismo tamaño y peso. De hecho, para evitar que unas bolas pesen más que otras y por lo tanto que unas fueran más probables que otras, cada bola tiene grabado en láser su número correspondiente.

Con todo esto, ya estamos preparados para ponernos a calcular probabilidades. En el sorteo de Navidad, se compra un décimo compuesto por 5 dígitos. Como los números de los décimos pueden ir desde el 0 hasta el 99.999, en total hay 100.000 números posibles. Es decir, el número de casos posibles es 100.000. Por otro lado, solo hay un único número que se lleva el premio gordo, por lo que solo hay un único caso favorable. Entonces, su probabilidad es:

La probabilidad de que ganemos el premio gordo es 0,00001, que para quien esté más acostumbrado a los porcentajes es de un 0,001%, ya que basta con multiplicar por 100. Como quizá no podamos visualizar bien lo que supone esta probabilidad vamos a pensar en los granos de arroz. De media, 1 kilo de arroz tiene entre 30.000 y 35.000 granos. Si pensamos en cada décimo de la lotería como si fuera un grano de arroz, tendríamos un total de 100.000 granos, que serían unos 3 kg aproximadamente. Por tanto, si solo hay un décimo premiado con el gordo, sería equivalente a coger un grano en especial que hubiéramos pintado previamente de rojo de entre todos los que hay en esos 3 kg.

Pero en la lotería de Navidad hay más premios, por lo que puede suceder que seamos afortunados con otro. Para que no sea un proceso tedioso vamos a resumir en la siguiente tabla cada uno de los premios del sorteo de navidad, contando el número de casos posibles. Para el premio gordo era evidente que solo había un único caso favorable, pero para el reintegro, por ejemplo, tenemos que contar cuántos décimos acaban en el mismo número que el premio gordo. Ponemos también en la tabla la probabilidad de que nos toque cada premio, expresada en tanto por ciento.

Tabla 1. Probabilidades para cada uno de los premios de la lotería de Navidad. Fuente: Elaboración propia

PREMIOCasos
favorables
Probabilidad (%)
Gordo o 1º premio10,001%
2º premio10,001%
3º premio10,001%
4º premio20,002%
5º premio80,008%
Pedrea1.7941,794%
Número anterior
y posterior al gordo
20,002%
Número anterior
y posterior al 2º premio
20,002%
Número anterior
y posterior al 3º premio
20,002%
Centenas del 1º, 2º y 3º
premio
2970,297%
Centenas del 4º premio1980,198%
Dos últimas cifras del
1º, 2º y 3º premio
2.9972,997%
Reintegro9.9999,999%

Como se desprende de la tabla anterior, la probabilidad de obtener el reintegro es mayor que la del gordo, aproximadamente del 10%. ¿Y si queremos saber cuál sería la probabilidad de que nos toque algún premio en la lotería de Navidad? No tendríamos más que sumar todos los casos favorables anteriores para calcularla. Sin embargo, no es tan directo. Tenemos que eliminar algunos premios que aparecen por duplicado. Por ejemplo, supongamos que el premio gordo ha sido para el número 12.345. Por lo tanto, un décimo que fuese el 89.745 lo estaríamos contando dos veces en la tabla anterior, ya que tendría el premio correspondiente a que “las dos últimas cifras del décimo coinciden con las del primer premio” y además acaba en el mismo número que el premio gordo, por lo que también lo hemos contabilizado dentro del reintegro. Por tanto, si eliminamos estas duplicidades obtenemos una probabilidad de casi un 14,3%, sabiendo que aproximadamente casi un 10% corresponde al reintegro. En conclusión, hemos podido comprobar que la probabilidad de obtener un premio cuantioso en la lotería de la Navidad es muy pequeña.

Veamos ahora la probabilidad de obtener un premio en otros sorteos, como por ejemplo el del Niño. En este caso la probabilidad de que nos toque algún premio va a ser mayor, ya que hay más reintegros que en el caso de la lotería de Navidad. Siguiendo un razonamiento similar al que ya hemos mostrado, obtenemos que la probabilidad de ganar el primer premio de la lotería del Niño es la misma que la del sorteo de Navidad, puesto que hay el mismo número de décimos en total (100.000) y solo hay un único número ganador. Sin embargo, si calculamos la probabilidad de obtener algún premio, vemos que ese porcentaje es de casi un 37%, algo más del doble que la que habíamos obtenido para la lotería de Navidad.

Pero, ¿estos premios son más o menos probables que los de otros sorteos o apuestas? Analicemos unos cuantos para verlo.

Comencemos con el juego de La Primitiva: este consiste en seleccionar 6 números distintos entre el 1 y el 49 que corresponderán a la combinación ganadora y por otro lado elegir otro número más, comprendido entre el 0 y el 9, que sería el reintegro. Así, si queremos calcular la probabilidad de acertar los 6 números de la combinación ganadora y además el reintegro vemos que es de 1 entre 139.838.160. Es decir, un porcentaje de 0,0000007%. Vamos a visualizarlo con el ejemplo anterior: esos 139.838.160 casos posibles los podemos asemejar a granos de arroz, por lo que equivaldría aproximadamente a unos 4.400 kg de arroz. Pintar un solo grano de arroz de rojo e intentar extraerlo al azar de entre todos los que hay en esos 4.400 kg es lo mismo que ganar el mayor premio de La Primitiva. También es posible ganar La Primitiva, aunque con un premio menor, si solo acertamos los 6 números de la combinación ganadora. En este caso la probabilidad sería 10 veces mayor que la anterior. Es decir, tendríamos que extraer un grano de arroz previamente pintado de entre todos los granos existentes en 440 kg.

Ahora analicemos un último juego de azar muy común: La Quiniela. En este ejemplo, el número total de combinaciones posibles es casi de 5 millones y como solo hay un caso favorable la probabilidad sería del 0,00002%. Aquí, equivaldría a sacar un grano de arroz en especial de todos los que encontramos en unos 150 kg de arroz.

Figura 1. Ilustración de la probabilidad de que toque un determinado premio haciendo el símil con los granos de arroz. Fuente: Elaboración propia.

Con estos ejemplos se pueden ver las posibilidades que tenemos de ganar un gran premio en la lotería. Esto no quiere decir que nunca nos pueda tocar, sino que es muy difícil que ocurra. Algo similar ocurre en los juegos de azar de los casinos, que tan de moda se han puesto últimamente. Pero ahí hay tanto que analizar que mejor lo dejamos para otro artículo.

¡Estate atento!

Para saber más

Lotería. (3 de enero de 2018). Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM). Recuperado de: https://fespm.es/index.php/2018/01/03/loteria/

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