El problema Theaniano

Imagen de cabecera: Pitágoras, detalla de La escuela de Atenas, de Rafael Sanzio. Fuente: Wikipedia

Seguro que muchos habéis oído hablar de la Escuela Pitagórica, pero antes de centrarnos en ella, vamos a contextualizarnos con su fundador: Pitágoras. Pitágoras nació en Samos en el 569 a. C., donde vivió los primeros años de su vida. Acompañó a su padre en muchos viajes y fue ampliamente instruido. Entre sus numerosos viajes destacamos su paso por Egipto y Babilonia, donde aprendió gran parte de sus técnicas y herramientas matemáticas. Tanto los egipcios como los babilonios realizaban operaciones aritméticas complejas que les permitieron, por ejemplo, tener sistemas de contabilidad o levantar construcciones arquitectónicas impresionantes que llegan hasta nuestros días. Como resultado de todos estos viajes y de los conocimientos adquiridos, Pitágoras fue a Crotona, desterrado de su ciudad natal por Polícrates, a fundar su Escuela. Allí conoció a Milón, un rico patricio que dedicó parte de su fortuna al mecenazgo. Milón admiraba a Pitágoras y le ayudó a fundar su famosa Escuela Pitagórica. La Escuela se dedicó, entre otras cosas, al estudio de los números. Creían que todo se podía expresar matemáticamente y que en el número residía el orden esencial. Un hecho destacable para aquella época es que en la Escuela Pitagórica las mujeres eran aceptadas y tanto mujeres como hombres tenían los mismos derechos. Milón tenía una hija, Theano, a la que no dudó en mandar a estudiar a la Escuela de su protegido. Allí, destacó como una de las alumnas más aventajadas y, de hecho, terminó convirtiéndose en profesora. Theano se casó con Pitágoras, aunque este era treinta años mayor que ella. Varios autores consultados sugieren que tuvieron dos hijos y tres hijas y a todos ellos se les educó también en la doctrina pitagórica, ya que consideraban que, al menos en el intelecto, hombres y mujeres eran iguales. La fraternidad Pitagórica tuvo un final trágico, ya que esta comunidad amasó mucho poder en Crotona y esto derivó en una rebelión de la población en su contra. Así, Pitágoras y otros miembros de la Escuela perdieron su vida. Theano consiguió huir con sus hijos, y se puso al frente de la Escuela como su directora. Así, con la ayuda de sus hijos e hijas continuó difundiendo los conocimientos pitagóricos por Grecia y Egipto. Los descubrimientos pitagóricos eran guardados como grandes secretos dentro de la comunidad. Por ello, no están claras las aportaciones que hizo cada miembro de la hermandad. Sin embargo, los historiadores atribuyen a Theano varios escritos de matemáticas, física, medicina y un destacado tratado sobre el número de oro, al cual se dedicó el artículo del mes de octubre: “La sucesión de Fibonacci y sus propiedades”. Te animo a revisarlo para que descubras cómo este número está presente en la naturaleza. Existe una anécdota sobre la hermandad pitagórica y Theano conocida con el nombre del problema Theaniano. Cuenta la leyenda que un joven discípulo de Pitágoras que había entrado recientemente en la Escuela vio a Theano y se enamoró de ella. Se acercó a Pitágoras a preguntarle por la edad de la mujer que lo había cautivado y Pitágoras respondió:
  • Theano es perfecta y su edad es un número perfecto.
El estudiante preguntó:
  • Maestro, ¿no podría usted darme más información?
A lo que Pitágoras contestó:
  • Tienes razón. La edad de Theano, además de ser un número perfecto, es el número de sus extremidades multiplicado por el número de sus admiradores, que cabe señalar, es un número primo.
Antes de intentar resolverlo vamos a ver algunos conceptos como los números perfectos y los números primos. Los números perfectos son aquellos números naturales (es decir, enteros positivos) que son igual a la suma de todos sus divisores propios positivos. Antes de esto, repasemos lo que son los divisores de un número natural: son los números naturales que lo pueden dividir obteniendo como cociente un número natural y de resto cero. Pues bien, solo falta ver qué significa eso de divisores “propios”. No es más que todos los divisores de un número menos él mismo. Para entender mejor esto qué significa esto, veamos un ejemplo. Cojamos el número 6 y pensemos en todos los divisores positivos, es decir, todos los números positivos tales que al dividir 6 por cada uno de ellos obtenemos como cociente un número natural y resto cero. Serían por tanto el 1, 2, 3 y 6. Ya que si, por ejemplo, dividimos el 6 entre 3 nos da como resultado 2 y resto cero. Así, los divisores propios positivos serán: 1, 2 y 3. Una vez obtenidos todos los divisores propios del ejemplo, veamos si el 6 es un número perfecto. Para ello, tenemos que ver si la suma de todos sus divisores propios nos da como resultado el 6. En este caso sería 1+2+3=6. ¡Vaya! Sí que es un número perfecto. Finalmente, los números primos son aquellos que solo tienen dos divisores positivos: él mismo y el 1. Por ejemplo, el 13 es primo, ya que solo es divisible por él mismo y por el 1. Bien, con toda esta información, ¿serías capaz de averiguar la edad de Theano? Venga, ¡inténtalo! No quiero estropearte la gran oportunidad de descubrir por ti mismo el número perfecto de años de la perfecta Theano. ¡Se te ha acabado el tiempo! Vamos con la resolución: llamemos “a” al número de admiradores y “x” a la edad de Theano. Nos dicen que su edad es el número de sus extremidades multiplicado por el número de admiradores, que es un número primo. Es decir: Hagámoslo tanteando y viendo después qué edad de todas las obtenidas es un número perfecto. Como el número de admiradores es un número primo pensemos en los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Vamos a considerar solo estos ya que el siguiente número primo es 17 que, al multiplicarlo por 4, nos saldría que la edad de Theano es 68 y no tendría mucha lógica ya que supuestamente era 30 años más joven que Pitágoras. Así, para cada uno de esos números primos la edad de Theano sería:

Tabla 1: Posibles edades de Theano para cada uno de los números primos elegidos que sería el número de admiradores

 Número de admiradores (que son números primos)
23571113
Edad4 · 2 = 84 · 3 = 124 · 5 = 204 · 7 = 284 · 11 = 444 · 13 = 52

Vayamos calculando para cada una de esas edades si se trata de números perfectos o no. La edad de 8 y 12 años no sería posible según toda la historia ya contada. En cualquier caso se comprueba fácilmente que no son números perfectos. 

La siguiente edad obtenida a comprobar sería 20. Sus divisores propios positivos serían 1, 2, 4, 5 y 10. Sumemos todos estos divisores para ver si obtenemos 20, en cuyo caso sería un número perfecto: 1+2+4+5+10=22. Por tanto, 20 no es un número perfecto.

El siguiente candidato sería el 28, cuyos divisores propios positivos serían: 1, 2, 4, 7 y 14. Por lo que su suma sería: 1+2+4+7+14=28. ¡Ya lo hemos encontrado! 28 es un número perfecto, por tanto la edad de Theano sería 28 años y el número de admiradores 7.

Una forma más breve de resolverlo pero que requiere mayores conocimientos matemáticos es la siguiente. Sabemos que la edad de Theano es el número de sus extremidades multiplicado por el número de admiradores que es un número primo. A su vez, su edad es un número perfecto, es decir, es igual a la suma de sus divisores propios positivos. Como x, su edad, es múltiplo de 4 y de un número primo a tenemos que sus posibles divisores propios serían los divisores de los factores primos que lo componen y sus posibles combinaciones: 1, 2, 4, a, 2a. Así, tenemos que:

Y como:

Obtenemos:

Despejando el valor de “a” llegamos a que el número de admiradores es:

Que es efectivamente un número primo. Conocido el número de admiradores la edad de Theano es inmediata ya que:

Nota: No está muy claro quién fue con exactitud Theano ya que hay diversas teorías. El autor Peter Gorman (Gorman, 1979) defiende que Theano fue hija del filósofo Brontino, el cual era amigo y uno de los discípulos más cercanos de Pitágoras. Así, Theano ingresó en la Escuela pitagórica donde conoció a Pitagóras y se casó con él cuando este ya era mayor. Otros autores defienden más la versión que se ha expuesto en este artículo. Finalmente, hay otros autores que incluso consideran que Theano no existiera como tal, sino que era el nombre que utilizaban dos filósofas griegas. En cualquier caso, está claro que fuera como fuese, esta pensadora griega fue alguien importante que realizó grandes aportaciones.

Para saber más

Barbarán Sánchez, J. J. (2017). divulgaMAT. Obtenido de http://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3373%3Atheano-siglo-vi-ac&catid=37%3Abiograf-de-matemcos-ilustres&Itemid=33

Gorman, P. (1979). Pythagoras, a Life. Routledge & K. Paul.

Ouaknin, M.-A. (2006). El misterio de las cifras. Ma non troppo.

Rodríguez, M. (2020). BBC News Mundo. Teano, ¿esposa o hija de Pitágoras?: el misterio en torno a la mujer que se cree reemplazó al gran matemático griego. Obtenido de https://www.bbc.com/mundo/noticias-52686555

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